Betydelsen av skillnaden mellan medel

Efter att ha läst den här artikeln kommer du att lära dig om betydelsen av skillnaden mellan medel.

Antag att vi vill testa om 12-åriga pojkar och 12-åriga tjejer i offentliga skolor skiljer sig åt mekanisk förmåga. Eftersom befolkningen hos sådana pojkar och flickor är för stor tar vi ett slumpmässigt urval av sådana pojkar och tjejer, administrerar ett test och beräknar sättet för pojkar och tjejer separat.

Antag att den genomsnittliga poängen för sådana pojkar är 50 och den för sådana tjejer är 45. Vi märker en skillnad på 5 poäng mellan pojkar och flickor. Det kan vara ett faktum att en sådan skillnad kunde ha uppstått på grund av provtagningsfluktuationer.

Om vi ritar två andra prover kommer en från 12-åriga pojkar och andra från 12-åriga tjejer att hitta någon skillnad mellan sättet om vi fortsätter att upprepa det under en lång tid på att ta prov på 12-åriga pojkar och 12-åriga tjejer kommer vi att finna att skillnaden mellan två uppsättningar medel kommer att variera.

Ibland är skillnaden positiv, ibland negativ, och ibland noll. Fördelningen av dessa skillnader kommer att bilda en normal fördelning runt en skillnad på noll. SD för denna fördelning kallas standardfelet för skillnad mellan medel.

För följande symboler används:

SEM ₁ - M ₂ eller SE _D eller o _DM

Två situationer uppstår med hänsyn till skillnader mellan medelvärdet:

(a) De i vilka medel är okorrelerade / oberoende, och

(b) De där medlen är korrelerade.

(a) SE av skillnaden mellan två oberoende medel:

Medlen är okorrelerade eller oberoende när de beräknas från olika prover eller från okorrelerade tester administrerade till samma prov.

I så fall kan två situationer uppstå:

(i) När medel är okorrelerade eller oberoende och proverna är stora, och

(ii) När medel är okorrelerade eller oberoende och proverna är små.

(i) SE av skillnaden (SE _D ) när medel är okorrelerade eller oberoende och proverna är stora:

I denna situation kan SE _D beräknas med hjälp av formeln:

i vilken SE _D = Standardfel av skillnaden i medel

SEm ₁ = Standardfel av medelvärdet av det första provet

SEm ₂ = Standardfel av medelvärdet av det andra provet

Exempel 1:

Två grupper, en bestod av 114 män och den andra av 175 kvinnor. Medelvärdena av män och kvinnor i ett ordbyggnadstest var 19, 7 respektive 21, 0 och SD: s av dessa två grupper är 6, 08 respektive 4, 89. Testa om den observerade skillnaden på 1, 3 till förmån för kvinnor är signifikant vid .05 och på .01-nivå.

Lösning:

Det är ett tvåstansigt test → Eftersom riktningen inte är klar.

För att testa betydelsen av en erhållen skillnad mellan två provmedel kan vi fortsätta genom följande steg:

Steg 1:

I första steget måste vi vara klara huruvida vi ska göra tvåstansade test eller ett-tailed test. Här vill vi testa om skillnaden är signifikant. Så det är ett två-tailed test.

Steg 2:

Vi satte upp en nollhypotes (H ₀ ) att det inte finns någon skillnad mellan befolkningsorganen för män och kvinnor i ordbyggande. Vi antar skillnaden mellan populationen av två grupper att vara noll, dvs H _o : D = 0.

Steg 3:

Då måste vi bestämma testens signifikansnivå. I vårt exempel ska vi testa skillnaden vid .05 och .01 nivå av betydelse.

Steg 4:

I detta steg måste vi beräkna standardfelet för skillnaden mellan medel, dvs SE _D.

Eftersom vårt exempel är okorrelerat betyder och stora prover vi måste tillämpa följande formel för att beräkna SE _D :

Steg 5:

Efter att ha beräknat värdet på SE _D måste vi uttrycka skillnaden i provmedel i fråga om SE _D. Eftersom vårt exempel är en lätthet av stora prover måste vi beräkna Z där,

Steg 6:

Med hänvisning till testets natur i vårt exempel ska vi ta reda på det kritiska värdet för Z från Tabell A både på .05 och på .01 nivå av betydelse.

Från tabell A, Z.05 = 1, 96 och Z.01 = 2, 58. (Det betyder att värdet på Z ska vara signifikant vid .05 eller mindre måste vara 1, 96 eller mer).

Nu 1, 91 <1, 96 är den markerade skillnaden inte signifikant vid .05-nivå (dvs H0 accepteras).

tolkning:

Eftersom provet är stort kan vi antaga en normal fördelning av Z: er. Den erhållna Z misslyckas inte att nå .05 nivå av betydelse, som för stora prover är 1, 96.

Följaktligen skulle vi inte avvisa nollhypotesen och vi skulle säga att den erhållna skillnaden inte är signifikant. Det kan faktiskt vara viss skillnad, men vi har inte tillräcklig försäkran om det.

En mer konkret slutsats skulle vara att vi inte har tillräckligt med bevis på någon könsskillnad i ordbyggande förmåga, åtminstone i den typ av befolkning som samplas.

Exempel 2:

Data om prestationer av pojkar och flickor ges som:

Testa om pojkarna eller tjejerna fungerar bättre och om skillnaden på 1, 0 till pojkar är betydande vid .05-nivån. Om vi accepterar skillnaden att vara signifikant, vad skulle det vara typ 1-felet.

Lösning:

1, 85 <1, 96 (Z, O5 = 1, 96). Därför accepteras H ₀ och den markerade skillnaden på 1, 0 till förmån för pojkar är inte signifikant vid .05-nivå.

Om vi accepterar skillnaden att vara signifikant begår vi typ 1-fel. Genom att läsa Tabell A finner vi att ± 1, 85 Z omfattar 93, 56% av fallen. Därmed accepterar den markerade skillnaden att vara signifikant är vi 6, 44% (100 - 93, 56) felaktigt så typ 1-felet är 0644.

Exempel 3:

Klass A lärdes i en intensiv coachningsanläggning medan klass B i en normal klassundervisning. I slutet av ett läsår klass A och B i genomsnitt 48 och 43 med SD 6 respektive 7, 40.

Testa om intensiv coachning har hämtat vinst i medelvärde till klass A. Klass A utgör 60 och klass B 80 studenter.

. ^. . 4, 42 är mer än Z.01 eller 2, 33. Så H _o avvisas. Den markerade skillnaden är signifikant vid .01-nivå.

Därför drar vi slutsatsen att intensiv coaching hämtade bra medelvärden för klass A.

(ii) SE av skillnaden (SE _D ) när medel är okorrelerade eller oberoende och proverna är små:

När N: erna av två oberoende prover är små kan SE av skillnaden mellan två medel beräknas med hjälp av följande två formler:

När poäng ges:

där x ₁ = X ₁ - M ₁ (dvs avvikelse av poäng av det första provet från medelvärdet av det första provet).

X ₂ = X ₂ - M ₂ (dvs avvikelse av poäng av det andra provet från deras medelvärde)

När medel och SD: er av båda proven ges:

Exempel 4:

Ett intressetest administreras till 6 pojkar i en yrkesutbildningsklass och till 10 pojkar i en latinsklass. Är den genomsnittliga skillnaden mellan de två grupperna betydande vid .05-nivån?

Ange tabell:

D vi finner att med df = 14 är det kritiska värdet på t vid .05-nivån 2, 14 och vid .01-nivån 2, 98. Det beräknade värdet på 1, 78 är mindre än 2, 14 vid .05 nivå av betydelse.

Därmed accepteras H ₀ . Vi drar slutsatsen att det inte finns någon signifikant skillnad mellan de genomsnittliga poängen av intressetest av två grupper av pojkar.

Exempel 5:

En personlighetsinventering administreras i en privat skola till 8 pojkar, vars uppförandeposter är exemplar och till 5 pojkar vars register är mycket dåliga.

Data ges nedan:

Är skillnaden mellan gruppmedel betydande på .05-nivån? på 01-nivå?

Inmatning av tabell D finner vi att med df 11 är det kritiska värdet på t vid .05-nivån 2, 20 och vid .01-nivå är 3, 11. Det beräknade värdet på 2, 28 är bara mer än 2, 20 men mindre än 3, 11.

Vi drar slutsatsen att skillnaden mellan gruppmedel är signifikant vid .05-nivå men inte signifikant vid .01-nivå.

Exempel 6:

På ett aritmetiskt resonemangsprov gjorde 11 tio år gamla pojkar och 6 tio år gamla flickor följande poäng:

Är den genomsnittliga skillnaden på 2, 50 betydande på .05-nivån?

Lösning:

Genom att använda formel (43b).

Inmatning av tabell D finner vi att med df 15 är det kritiska värdet på t vid .05-nivån 2, 13. Det erhållna värdet av 1, 01 är mindre än 2, 13. Därför är den markerade skillnaden på 2, 50 inte signifikant vid .05-nivån.

(b) SE av skillnaden mellan två korrelerade medel:

(i) Enkeltgruppsmetoden:

Vi har redan behandlat problemet med att avgöra huruvida skillnaden mellan två oberoende medel är betydande.

Nu är vi bekymrade över betydelsen av skillnaden mellan korrelerade medel. Korrelerade medel erhålls från samma test administrerade till samma grupp vid två tillfällen.

Antag att vi har administrerat ett test till en grupp barn och efter två veckor ska vi upprepa testet. Vi önskar mäta effekten av övning eller särskild träning på den andra uppsättningen poäng. För att bestämma betydelsen av skillnaden mellan de medel som erhållits vid den inledande och slutliga testningen.

Vi måste använda formeln:

där σ _M1 och σ _M2 = SE: s av det ursprungliga och slutliga testet betyder

r ₁₂ = Korrelationskoefficient mellan poäng som gjorts vid initiala och slutliga tester.

Exempel 7:

I början av läsåret var den genomsnittliga poängen på 81 elever på ett utbildningsprestationstest i läsning 35 med ett SD på 5.

Vid slutet av sessionen var medelvärdet på en ekvivalent form av samma test 38 med ett SD på 4. Korrelationen mellan poäng som gjordes vid den inledande och slutliga testningen var .53. Har klassen gjort betydande framsteg i läsning under året?

Vi kan tabulera våra data enligt följande:

(Test vid .01 nivå av betydelse)

Lösning:

Eftersom vi bara är bekymrade över framsteg eller vinst, är det ett ett-tailed test.

Genom att använda formeln:

Eftersom det finns 81 elever finns 81 par poäng och 81 skillnader, så att df blir 81-1 eller 80. Från tabell D är t för 80 df 2, 38 på .02-nivån. (Tabellen ger 2, 38 för det tvåstansade testet som är 0, 01 för det enstansade testet).

Den erhållna t på 6, 12 är mycket större än 2, 38. Därför är skillnaden signifikant. Det verkar säkert att klassen gjorde betydande framsteg när det gäller läsning under skolåret.

(ii) Differensmetod:

När grupper är små använder vi "differensmetod" för enkel och snabb beräkning.

Exempel 8:

Tio ämnen ges 5 på varandra följande försök vid ett siffersymboltest, av vilket endast poängen för försök 1 och 5 visas. Är den genomsnittliga vinsten från början till slutprov betydande?

Kolumnen med skillnad finns från skillnaden mellan par av poäng. Den genomsnittliga skillnaden visar sig vara 4 och SD runt detta betyder (SD _D )

Beräkning av SE av medelskillnaden:

I vilken SE _MD = Standardfel av medelskillnaden

SD = Standardavvikelse runt medelskillnaden.

Den erhållna t av 5, 26> 2, 82. Vår t på 5, 26 är mycket större än .01-nivån på 2, 82 och det är ingen tvekan om att vinsten från försök 1 till försök 5 är signifikant.

iii) Metoden för ekvivalenta grupper:

Matchar i par:

Ibland kan vi behöva jämföra den genomsnittliga prestandan hos två ekvivalenta grupper som matchas med par.

I metoden för ekvivalenta grupper görs matchningen initialt med par så att varje person i den första gruppen har en match i den andra gruppen.

I sådana fall är antalet personer i båda grupperna samma, dvs n ₁ = n ₂ .

Här kan vi beräkna SE _D med hjälp av formel:

där SE _M1 andSE _M2 = Standardfel av slutresultatet för Grupp-I respektive Grupp-II respektive.

r ₁₂ = Korrelationskoefficient mellan slutresultat i grupp I och grupp II.

Exempel 9:

Två grupper bildades på grundval av de poäng som erhållits av eleverna i ett intelligensprov. En av grupperna (experimentell grupp) fick ytterligare instruktioner för en månad och den andra gruppen (kontrollerad grupp) fick ingen sådan instruktion.

Efter en månad fick båda grupperna samma test och uppgifterna om slutresultatet ges nedan:

tolkning:

Inmatning av tabell av t (Tabell D) med df 71 Det kritiska värdet på t vid .05-nivån vid ett-tailed test är 1, 67. Den erhållna t av 2, 34> 1, 67. Därför är skillnaden signifikant vid .05 nivå.

. ^. . Medelvärdet har ökat på grund av ytterligare instruktioner.

Med df av 71 det kritiska värdet av t vid .01-nivå vid ett-tailed test är 2.38. Erhållen sålunda t av 2, 34 <2, 38. Därför är skillnaden inte signifikant vid .01-nivå.

Standardfel av skillnaden mellan annan statistik:

(i) SE av skillnaden mellan okorrigerade medianer:

Betydelsen av skillnaden mellan två medianer erhållna från oberoende prover kan hittas från formeln: