Sannolikhet: Betydelse, begrepp och betydelse

Efter att ha läst denna artikel kommer du att lära dig om: - 1. Betydelse av sannolikhet 2. Olika tankskolor om begreppet sannolikhet 3. Viktig terminologi 4. Viktighet 5. Principer.

Betydelse av sannolikhet:

I vårt dagliga liv är "sannolikheten" eller "chansen" mycket vanligt förekommande. Ibland brukar vi säga "Troligen det kan regna imorgon", "Sannolikt kan Mr. X komma för att ta sin klass idag", "Förmodligen har du rätt". Alla dessa termer, möjlighet och sannolikhet förmedlar samma mening. Men i statistiken har sannolikheten viss speciell konnotation till skillnad från Laymans synvinkel.

Teorin om sannolikhet har utvecklats i 17th century. Den har sitt ursprung från spel, kastar mynt, kastar en tärning, ritar ett kort från ett pack. År 1954 hade Antoine Gornband tagit initiativ och intresse för detta område.

Efter honom hade många författare i statistiken försökt att omforma den föreslagna ideen. Sannolikheten har blivit ett av de grundläggande verktygen för statistik. Ibland blir statistisk analys förlamad utan sannolikhetens teorem. "Sannolikheten för en given händelse definieras som den förväntade frekvensen av händelsen i händelse av händelser av samma slag." (Garrett)

Sannolikhetsteorin ger ett sätt att få en uppfattning om sannolikheten för att olika händelser uppträder som ett resultat av ett slumpmässigt experiment när det gäller kvantitativa åtgärder som sträcker sig mellan noll och en. Sannolikheten är noll för en omöjlig händelse och en för en händelse som är säker att inträffa.

Exempel:

Sannolikheten att himlen kommer att falla är .00.

En individ som lever nu kommer en dag att dö är 1, 00.

Låt oss förtydliga sannolikans betydelse med ett exempel på att teckna ett spelkort. Det finns 4 sorter av kort i ett paket och om dessa kort kommer att slås i slumpvis är sannolikheten att dra en spade 13/52 = 1/4. Om ett opartiskt mynt kastas är sannolikheten för att huvudet (H) uppträder 1/2.

Sannolikhet som förhållande:

Sannolikheten för en händelse som anges eller uttryckts matematiskt kallad som ett förhållande. Sannolikheten för ett opartiskt mynt, fallande huvud är 1/2 och sannolikheten för att en tärning som visar en tvåpunkt är 1/6. Dessa förhållanden, som kallas sannolikhetsförhållanden, definieras av den fraktionen, vars täljare motsvarar det önskade resultatet eller resultatet, och nämnaren är lika med de totala möjliga resultaten.

Enkelt uttryckt är sannolikheten för utseendet på något ansikte på en 6-sidigt (t.ex. 4 fläckar) 1/6 eller

Sannolikhet = önskat resultat / totalt antal resultat

Sannolikhet är en sannolikhet ett tal eller ett förhållande som sträcker sig från 0 till 1. Noll för en händelse som inte kan förekomma och 1 för en händelse, som visserligen inträffar.

Olika tankskolor om begreppet sannolikhet:

Det finns olika tankskolor på begreppet sannolikhet:

1. Klassisk sannolikhet:

Det klassiska förhållningssättet till sannolikheten är en av de äldsta och enklaste tankegångarna. Den har sitt ursprung i 18th century som förklarar sannolikheten för spel av chanser, som att kasta mynt, tärning, ritningskort etc.

Definitionen av sannolikhet har givits av en fransk matematiker som heter "Laplace". Enligt honom är sannolikheten förhållandet mellan antalet gynnsamma fall bland antalet lika sannolika fall.

Eller med andra ord är förhållandet som föreslås av klassiskt tillvägagångssätt:

Pr. = Antal gynnsamma fall / Antal lika sannolika fall

Till exempel, om ett mynt kastas och om det ställs in vad som är sannolikheten för att huvudet uppträder, då är antalet gynnsamma fall = 1, antalet lika stora fall = 2.

Pr. av huvudet = 1/2

Symboliskt kan det uttryckas som:

P = Pr. (A) = a / n, q = Pr. (B) eller (inte A) = b / n

1 - a / n = b / n = (eller) a + b = 1 och även p + q = 1

p = 1 - q och q = 1 - p och om a + b = 1 då så också a / n + b / n = 1

I detta tillvägagångssätt varierar sannolikheten från 0 till 1. När sannolikheten är noll betecknar den att det är omöjligt att inträffa.

Om sannolikhet är 1 då finns det visshet om förekomsten, dvs händelsen är bunden att inträffa.

Exempel:

Från en påse som innehåller 20 svarta och 25 vita bollar dras en boll slumpmässigt. Vad är sannolikheten för att den är svart.

Pr. av en svart boll = 20/45 = 4/9 = p, 25 Pr. av en vit boll = 25/45 = 5/9 = q

p = 4/9 och q = 5/9 (p + q = 4/9 + 5/9 = 1)

svagheter:

(1) Klassisk inställning begränsas endast till mynt, tärning, kort osv .;

(2) Detta får inte i vissa fall förklara det faktiska resultatet.

(3) Om antalet lika stora fall är mer, är det svårt att ta reda på värdena för sannolikhetsförhållandet, och

(4) Om antalet lika sannolika fall är 00, är ​​detta tillvägagångssätt otillräckligt.

2. Relativ frekvens teori om sannolikhet:

Denna inställning till sannolikhet är ett protest mot det klassiska tillvägagångssättet. Det indikerar att om n ökar upp till ∞, kan vi ta reda på sannolikheten för p eller q.

Exempel:

Om n är ∞, så Pr. av A = a / n = 5, Pr. av B = b / n = 5

Om en händelse inträffar en tider av n är den relativa frekvensen a / n. När n blir ∞ kallas gränsen för relativ frekvens.

Pr. (A) = gräns a / n

där n → ∞

Pr. (B) = gräns bl.t. här → ∞.

Om det finns två typer av objekt bland föremålen av liknande eller andra naturer, så är sannolikheten för ett objekt, dvs Pr. av A = .5, sedan Pr. av B = .5.

svagheter:

1. Detta tillvägagångssätt är inte alls ett autentiskt och vetenskapligt förhållningssätt.

2. Denna sannolikhetsstrategi är ett odefinierat koncept.

3. Denna typ av sannolikhetsstrategi är dock tillämpad inom affärsområdet och ekonomi ännu inte pålitlig.

Viktig terminologi i sannolikhet:

1. Ömsesidigt exklusiva händelser:

Händelserna sägs vara ömsesidigt exklusiva när de inte uppträder samtidigt. Bland händelserna, om en händelse kommer att vara närvarande i en försök, kommer andra händelser inte att visas. Med andra ord utgör förekomsten av en uteslutande förekomsten av alla andra.

Till exempel:

Om en tjej är vacker kan hon inte vara ful. Om en boll är vit kan den inte vara röd. Om vi ​​tar andra händelser som döda och levande kan det sägas att en person kan vara antingen levande eller död vid en tidpunkt.

Men lögn kan inte vara både levande och död samtidigt. Om ett mynt kastas cither kommer huvudet att visas eller svansen kommer att visas. Men båda kan inte visas samtidigt. Det hänvisar att vid kastning av ett mynt kommer förekomst av huvud och svans under ömsesidigt exklusiva händelser.

Symboliskt om händelserna "A" och "B" är ömsesidigt exklusiva, kan sannolikheten för händelser beräknas cither i P (A) eller P (B). I ömsesidigt exklusiva händelser P (AB) = 0.

2. Oberoende och beroende händelser:

Två eller flera händelser sägs vara oberoende när förekomsten av en försök inte påverkar den andra. Det indikerar att om rättegång gjordes en efter en, påverkas inte en försök av den andra försöket. Och även en försök beskriver aldrig någonting om de andra prövningarna.

Exempel:

Händelserna med att kasta ett mynt är oberoende händelser. Om ett mynt kastas en efter en, påverkas inte en försök av den andra. I en försök kan huvudet eller svansen vara konisk som aldrig beskriver vad som kommer att hända i andra försöket. Så den andra prövningen är helt oberoende av den första rättegången.

Beroende händelser är de där förekomsten och förekomsten av en händelse i en försök kan påverka förekomsten av andra försök. Här är händelserna ömsesidigt beroende av varandra.

Exempel:

Om ett kort dras från ett pack av spelkort och inte byts ut, kommer det att ändras i 2: e försökssannolikheten.

3. Lika sannolika händelser:

Händelser sägs vara lika troliga, när det finns lika stor chans att förekomma. Om en händelse inte inträffar som andra händelser anses händelser inte lika troliga. Eller med andra ord sägs händelser vara lika troliga när en händelse inte uppträder oftare än de andra.

Exempel:

Om ett opartiskt mynt eller tärning kastas, kan varje ansikte förväntas inträffa är lika många på lång sikt. I ett annat exempel, förväntar vi oss att i ett paket spelkort varje kort ska visas lika. Om ett mynt eller tärningar är förspänt så förväntas inte varje ansikte att visas lika.

4. Enkla och sammanhängande händelser:

Enkla händelser. I de enkla händelserna tänker vi på sannolikheten för att hända eller inte händer av de enkla händelserna. När vi kastar myntet överväger vi händelserna av huvud och svans. I ett annat exempel finns det i en väska 10 vita bollar och 6 röda bollar och när vi försöker ta reda på sannolikheten för att rita en röd boll ingår det i enkla händelser.

Sammansatta händelser:

Men å andra sidan när vi betraktar den gemensamma förekomsten av två eller flera händelser, blir det sammansatta händelser. Till skillnad från enkla händelser beaktas mer än en händelse.

Till exempel:

Om det finns 10 vita och 6 röda bollar i en väska och om trebollar görs av tre bollar och när vi försöker ta reda på sannolikheten för 3 bollar som de vita bollarna. I det här exemplet anges att händelserna beaktas i mer än två slutliga fall.

Betydelsen av sannolikhet:

Begreppet sannolikhet är av stor betydelse i vardagen. Statistisk analys baseras på detta värdefulla koncept. I själva verket är den roll som sannolikheten spelar i modern vetenskap det som en ersättning för säkerhet.

Följande diskussion förklarar det vidare:

jag. Sannolikhetsteorin är mycket användbar för att göra förutsägelse. Uppskattningar och förutsägelser utgör en viktig del av forskningsundersökningen. Med hjälp av statistiska metoder gör vi uppskattningar för den vidare analysen. Således är statistiska metoder i stor utsträckning beroende av sannolikhetsteorin.

ii. Det har också stor betydelse för beslutsfattandet.

III. Det handlar om planering och kontroll och med förekomsten av olyckor av alla slag.

iv. Det är ett av de oskiljaktiga verktygen för alla typer av formella studier som innebär osäkerhet.

v. Begreppet sannolikhet tillämpas inte bara i affärs- och handelsled, snarare än det tillämpas även på all vetenskaplig utredning och vardagsliv.

vi. Innan man vet statistiska beslutsprocedurer måste man veta om sannolikhetsteorin.

vii. Egenskaperna hos den normala sannolikheten. Kurvan baseras på sannolikhetsteorin.

Normal Distribution är överlägset den mest använda distributionen för att dra inferenser från statistiska data på grund av följande orsaker:

1. Antal bevis är ackumulerade för att visa att normal fördelning ger en bra passform eller beskriver frekvenserna för förekomsten av många variabler och fakta i (i) biologisk statistik, t.ex. könskvot vid födseln i ett land över ett antal år, ii) antropometriska data, t.ex. höjd, vikt, (iii) löner och produktion av stort antal arbetstagare i samma yrke under jämförbara förhållanden, (iv) psykologiska mätningar t.ex. intelligens, reaktionstid, justering, ångest och (v) fel i observationer i fysik, Kemi och andra fysiska vetenskaper.

2. Normal fördelning har stor betydelse vid utvärdering och forskning i både psykologi och utbildning, när vi använder mentala mätningar. Det kan noteras att normal distribution inte är en faktisk fördelning av poäng på något test av förmåga eller akademisk prestation, utan istället en matematisk modell.

Fördelningen av testresultatet närmar sig den teoretiska normalfördelningen som en gräns, men passformen är sällan idealisk och perfekt.

Principer för sannolikhet och normal sannolikhetskurva:

När vi kasta ett opartiskt mynt kan det falla huvudet eller svansen. Sannolikheten för fallande huvud är således 50% eller 1/2 och fallande svans är också 50% eller 1/2. Om vi ​​kasta två ofrivilliga mynt kan de falla på ett antal sätt som HH (två huvuden) HT (1: a mynthuvud och 2: a myntsvans), TH (1: a mynt och 2: a mynthuvud) eller TT (två svansar).

Så det finns fyra möjliga arrangemang om vi kasta två mynt, (a) och (b) samtidigt:

Vi har för två mynt (H + T) 2 ; och kvadrering, binomialen (H + T) 2 = H2 + 2HT + T2.

1 H 2 1 chans i 4 av 2 huvuden; sannolikhetskvot = 1/4

2 HT 2 chanser i 4 av 1 huvud och 1 svans; sannolikhetsförhållande = 1/2

1 T 2 1 chans i 4 av 2 svansar; sannolikhetskvot = 1/4

Totalt = 4

Om vi ​​kasta tre mynt (a), (b) och (c) samtidigt, finns det 8 möjliga resultat:

Uttryckt som förhållanden är sannolikheten för tre huvuden 1/8 (kombination 1); av två huvuden och en svans 3/8 (kombinationer 2, 3 och 4); av ett huvud och två svans 3/8 (kombinationer 5, 6 och 7); och av tre svansar 1/8 (kombination 8). Summan av dessa sannolikhetsförhållanden är 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 eller 1, 00.

Om vi ​​har tre oberoende faktorer som fungerar, blir uttrycket (p + q) n för tre mynt (H + T) 3 . Att utvidga denna binomial får vi H3 + 3H2T + 3HT2 + T3, som kan skrivas,

1 H 3 1 chans i 8 av 3 huvuden; sannolikhetsförhållande = 1/8

3 H 2 T 3 chanser i 8 av 2 huvuden och 1 svans sannolikhetskvot = 3/8

3 HT 2 3 chanser i 8 av 1 huvud och 2 svansar; sannolikhetskvot = 3/8

1 T 3 1 chans i 8 av 3 svansar; sannolikhetskvot Totalt = 1/8

På liknande sätt om vi kasta tio mynt och ersätter 10 för n, kommer binomialexpansionen att vara

(H + T) 10 = H10 + 10H9T + 45H8T2 + 120H7T3 + 210H6T4 + 252H5T5 + 210H4T6 + 120H3T7 + 45H2T 8 + 10HT 9 + T 10 .

Expansionen har elva kombinationer och chansen att förekomsten av varje kombination av den totala möjliga förekomsten uttrycks av koefficienten för varje kombination.

Vi kan representera ovanstående elva villkor för expansionen längs X-axeln på lika avstånd som:

Vi kan representera risken för förekomst av varje kombination av H och T som frekvenser längs Y-axeln. Om vi ​​plottar alla dessa punkter och går med i dem kommer vi att få en symmetrisk frekvenspolygon.

Om i binomialet (H + T) n är värdet av n ganska stort (säger oändlighet) skulle vi ha ett mycket stort antal punkter på grafen och genom att ansluta dem skulle vi få en perfekt jämn symmetrisk kurva. En sådan jämn och symmetrisk kurva är känd som "normal sannolikhetskurva".

Se noga på följande frekvensfördelning, vilken en lärare erhållit efter att ha granskat 150 elever i klass IX på ett matematikprestationstest (se tabell 6.1):

Kan du hitta någon speciell trend i de frekvenser som visas i kolumn 3 i tabellen ovan? Troligtvis Ja! Koncentrationen av maxfrekvensen ( f = 30) ligger vid distributionens centrala värde och frekvenserna avsmalnar gradvis symmetriskt på båda sidorna av detta värde. Om vi ​​ritar en frekvenspolygon med hjälp av ovanstående fördelning kommer vi att ha en kurva som visas i figur 6.1.

Kurvans form i figuren är precis som en "Bell" och är symmetrisk på båda sidorna. Om du beräknar värdena för Medel, Median och Mode, kommer du att finna att dessa tre är ungefär desamma (Medel = Median = Mode = 52).

Den "Bell" -formade kurvan, som är tekniskt känd som Normal Probability Curve eller helt enkelt Normal Curve och motsvarande frekvensfördelning av poäng, med lika värden för alla tre åtgärder med central tendens, är känd som Normal Distribution.

Denna normala kurva har stor betydelse i psykologisk och pedagogisk mätning. Vid mätning av beteendemässiga aspekter har den normala sannolikhetskurvan ofta använts som referenskurva.

Således är den normala sannolikhetskurvan en symmetrisk klockformad kurva. I vissa utdelningar tenderar mätningarna eller poängen att distribueras symmetriskt om deras medel. Det vill säga majoriteten av fallen ligger i mitten av fördelningen och ett fåtal fall ligger i ytterändarna (nedre änden och övre och).

Med andra ord börjar de flesta åtgärderna (poängen) koncentrera sig vid distributionsens mittdel och andra åtgärder (poäng) minska både till höger och vänster i lika stora proportioner. Detta är ofta fallet med många naturfenomen och med många mentala och sociala egenskaper.

Om vi ​​ritar en bäst passande kurva för en sådan symmetrisk fördelning kommer den att ha formen av en bellformad kurva symmetrisk på båda sidor av dess centrum.