Uppdragsproblem i linjär programmering: Introduktions- och uppdragsmodell

Uppdragsproblem är en speciell typ av linjär programmeringsproblem som handlar om fördelningen av de olika resurserna till de olika aktiviteterna på en till en. Det gör det på ett sådant sätt att kostnaden eller tiden som är involverad i processen är minimal och vinsten eller försäljningen är maximal. Även om problem kan lösas med simplexmetod eller med transportmetod, men uppdragsmodellen ger ett enklare tillvägagångssätt för dessa problem.

I en fabrik kan en handledare ha sex arbetstagare tillgängliga och sex jobb att skjuta. Han måste fatta beslut om vilket jobb som ska ges till vilken arbetare. Problemet är ett till ett. Detta är ett uppdragsproblem.

1. Uppdragsmodell:

Antag att det finns n underlättar och n jobb Det är klart att i det här fallet kommer det att finnas n uppdrag. Varje anläggning eller sägare kan utföra varje jobb, en i taget. Men det borde finnas en viss procedur med vilken uppdrag ska göras så att vinsten maximeras eller kostnaden eller tiden minimeras.

I tabellen definieras Co _ij som kostnaden när jobbet tilldelas ^mig arbetaren. Det kanske noteras här att detta är ett speciellt fall av transportproblem när antalet rader är lika med antal kolumner.

Matematisk formulering:

Alla grundläggande lösningar för ett uppdragsproblem består av variabler (2n - 1) vari variablerna (n - 1) är noll, n är antal jobb eller antal anläggningar. På grund av denna höga degeneration, om vi löser problemet med vanlig transportmetod, blir det ett komplicerat och tidskrävande arbete. Således erhålls en separat teknik för den. Innan du går till den absoluta metoden är det mycket viktigt att formulera problemet.

Antag att x _jj är en variabel som definieras som

1 om det ^första jobbet är tilldelat till maskinen eller anläggningen

0 om det här jobbet inte är tilldelat maskinen eller anläggningen.

Nu när problemet är ett till ett eller ett jobb ska tilldelas en anläggning eller maskin.

Den totala tilldelningskostnaden kommer att ges av

Ovanstående definition kan utvecklas till matematisk modell enligt följande:

Bestäm _xj > 0 (i, j = 1, 2, 3 ... n) för att

Utsatt för begränsningar

och x _ij är antingen noll eller en.

Metod för att lösa problem (ungersk teknik):

Tänk på den objektiva funktionen av minimeringstypen. Följande steg är inblandade i att lösa detta uppdragsproblem,

1. Leta reda på det minsta kostnadselementet i varje rad av det angivna kostnadstabellen som börjar med den första raden. Nu subtraheras detta minsta element från varje element i den raden. Så vi kommer att få minst en noll i varje rad i det här nya bordet.

2. När du har byggt bordet (som vid steg 1), ta kolumnerna i tabellen. Börja från första kolumnen hitta det minsta kostnadselementet i varje kolumn. Nu subtrahera det minsta elementet från varje element i den kolumnen. Efter att ha utfört steg 1 och steg 2 kommer vi att få minst en noll i varje kolumn i reducerad kostnadstabell.

3. Nu görs uppdragen för det reducerade bordet på följande sätt.

(i) Rader undersöks successivt, tills raden med exakt singel (en) noll hittas. Uppgift görs till denna nollpunkt genom att placera kvadrat □ runt den och i motsvarande kolumn, korsas alla andra nollor (x) eftersom dessa inte kommer att användas för att göra någon annan uppgift i den här kolumnen. Steg utförs för varje rad.

(ii) Steg 3 (i) som nu utförs på kolumnerna enligt följande: - Kolumner undersöks successivt tills en kolumn med exakt en noll hittas. Nu görs uppgift om denna nollpunkt genom att ställa torget runt det och samtidigt korsas alla andra nollor i motsvarande rader (x) steg utförs för varje kolumn.

(iii) Steg 3, (i) och 3 (ii) upprepas tills alla nollor är antingen markerade eller korsade. Om numret av markerade nollor eller de uppdrag som gjorts är lika med antal rader eller kolumner har optimal lösning uppnåtts. Det kommer att finnas exakt enstaka uppgift i varje eller kolumner utan uppgift. I det här fallet går vi till steg 4.

4. Rita i det här läget det minimala antalet linjer (horisontella och vertikala) som är nödvändiga för att täcka alla nollor i matrisen som erhållits i steg 3, Följande procedur antas:

(i) Tick markering (

(ii) Markera nu (

(iii) Markera alla rader som inte redan är markerade och som har uppgift i de markerade kolumnerna.

iv) Alla steg dvs (4 (i), 4 (ii), 4 (iii) upprepas tills inga fler rader eller kolumner kan markeras.

(v) Rita nu raka linjer som passerar alla un-märkta rader och markerade kolumner. Det kan också noteras att i en nxn-matris kommer alltid mindre än 'n' linjer att täcka alla nollor om det inte finns någon lösning bland dem.

5. I steg 4, om antalet rader som är ritade är lika med n eller antalet rader, är det den optimala lösningen om inte, och sedan gå till steg 6.

6. Välj det minsta elementet bland alla de avtäckta elementen. Nu subtraheras detta element från alla de avtäckta elementen och läggs till elementet som ligger vid korsningen av två linjer. Detta är matrisen för färska uppdrag.

7. Upprepa proceduren från steg (3) tills antalet uppdrag blir lika med antalet rader eller antal kolumner.